我正在向小鲁丁学习实分析。我有一个关于构建第 1 步的问题RR\mathbb R在定理1.19的证明中。
步骤 1：成员RR\mathbb{R}将是某些子集问问\mathbb{Q}，称为割。根据定义，割是指任意集合α⊂Qα⊂问\alpha \subset \mathbb{Q}具有以下三个属性。
（我）α ≠ ∅α≠∅\alpha \ne \varnothing和α ≠ Qα≠问\alpha \ne \mathbb{Q}
（二）如果p∈α页∈αp \in \alpha，问∈ Q问∈问q \in \mathbb{Q}， 和问<页问<页q < p， 然后问∈α问∈αq \in \alpha。
（三）如果p∈α页∈αp \in \alpha， 然后p < r页<rp <r对于一些r∈αr∈αr \in \alpha。
信件点, r ⋯页，问，r⋯p,q,r\cdots总是表示有理数，并且α , β, γ, ⋯α，β，γ，⋯\alpha, \beta, \gamma, \cdots将表示削减。
然后，他说，属性（II）意味着两个事实：
如果p∈α页∈αp \in \alpha和问∉α问∉αq \notin \alpha然后p < q页<问p < q
如果r∉αr∉αr \notin \alpha和r < sr<sr < s然后s∉αs∉αs \notin \alpha
他是如何得出这两个事实的？如果我们使用（II）的逆否命题，那么我们有问∉α问∉αq \notin \alpha暗示p⩽q。页⩽问。p \leqslant q.我不确定财产（II）发生了什么事情。
\endgroup
最佳答案
2
对于第一个事实，假设p∈α页∈αp \in \alpha和问∉α问∉αq \not\in \alpha我们有三种可能性：p < q页<问p < q，p = q页=问p=q， 或者p > q页>问p > q.我们当然没有p = q页=问p = q在这种情况下，因为一个人αα\alpha一个不是，所以它们不可能是同一回事。性质 (II) 规定，如果p > q页>问p > q然后问∈α问∈αq \in \alpha，但我们知道问∉α问∉αq \not\in \alpha，这样就排除了p > q页>问p > q剩下的唯一选择就是p < q页<问p < q。
对于第二个事实，假设r∉αr∉αr \not\in \alpha和r < sr<sr < s。 如果s∈αs∈αs \in \alpha那么属性（II）告诉我们r∈αr∈αr \in \alpha既然事实并非如此，那么我们必须s∉αs∉αs \not\in \alpha。
\endgroup
1
-
\begingroup
太棒了，克里斯。小鲁丁确实是智力体操
\endgroup
–
|
信件点, r ⋯页，问，r⋯p,q,r\cdots总是表示有理数，并且α , β, γ, ⋯α，β，γ，⋯\alpha, \beta, \gamma, \cdots将表示削减。
（二）如果p∈α页∈αp \in \alpha和问∈ Q问∈问q \in \mathbb{Q}和问<页问<页q < p， 然后问∈α问∈αq \in \alpha。
（一）如果p∈α页∈αp \in \alpha和问∉α ，问∉α，q \notin \alpha,然后p < q。页<问。p < q.
（二）如果r∉αr∉αr \notin \alpha和r < s ，r<s，r < s,然后s∉α 。s∉α。s \notin \alpha.
属性（II）意味着If p∈α and q∉α, then p<q or p=q or q∉Q，从而意味着事实（i），因为p ≠ q页≠问p\ne q（因为其中恰好有一个页页p和问问q是…的成员α )α）\alpha)和问∈ Q问∈问q\in\mathbb Q（根据定义）。
属性（II）在逻辑上意味着If s∈α and r∈Q and r<s, then r∈α，这在逻辑上意味着If r∉α, then s∉α or r∉Q or not r<s，这在逻辑上意味着If r∉α and r<s, then s∉α or r∉Q，这意味着事实（ii），因为r∈Qr∈问r\in\mathbb Q（根据定义）。
\endgroup
|
|