你的问题的答案实际上取决于你想要“代数理论相对于米米\mathcal M“反映古典理论（年代年代S-sorted）代数理论。

也许代数理论的基本定理是有限代数理论与集合类别上的有限单子之间的对应关系（或无限代数理论与集合类别上的任意单子之间的对应关系）。如果我们将这种对应关系视为“代数”理论（例如，相对于本质上的代数理论）的特征，那么就存在一个很好的一般理论，它恢复了代数理论的许多经典定理。

迄今为止，已经有许多用于单子理论对应的框架，但最通用的框架是 Arkor 的论文结构》第 5 至 7 章中提出的框架（与之前的框架的比较可在第 7 章中找到）。在这个框架中，代数理论是相对于任意稠密函子指定的j :一个→ E杰：一个→埃j : \mathcal A \to \mathcal E。

定义 (6.2.1).设j :一个→ E杰：一个→埃j : \mathcal A \to \mathcal E是一个稠密函子。杰杰j-理论是对象身份函子一个一个\mathcal A承认。

在适当的假设下（参见论文第 3 章），相对伴随条件等价于余极限保持条件：例如，经典有限代数理论恰恰是相对于包含的理论F i n集合→集合​​​​F我n年代埃吨→年代埃吨\mathrm{FinSet} \to \mathrm{Set}（请注意，按照这种约定，代数理论是具有有限余积的范畴，就像 Lawvere 最初的约定一样，而不是具有有限积的范畴）。

除了捕捉感兴趣的例子之外，证明这一定义的定理如下。

定理 ( 6.2.2 )。杰杰j-理论等同于。

乍一看，这个结果似乎比预期的要弱，因为并非每个相对单子都是由单子诱导的。然而，事实证明杰杰j-相对单子等同于埃埃\mathcal E在温和的共完备性假设下埃埃\mathcal E。

定理 (5.4.7)假设埃埃\mathcal E允许所有（逐点）左扩展杰杰j.然后是杰杰j-理论等同于杰杰j元单子埃埃\mathcal E。

特别地，必要的左扩张存在当且仅当对于每个杰杰j-相对单子承认左伴随（而不是简单的左杰杰j-相对伴随）。

例如，如果我们取杰杰j融入F i n集[S​​] →放​​年代F我n年代埃吨[年代]→年代埃吨年代\mathrm{FinSet}[S] \to \mathrm{Set}^S有限范畴年代年代S– 分类集合到年代年代S-排序集，我们获得了预期的经典结果。

推论。对于每个集合年代年代S，类别（F i n集[ S​​] →放​​年代）（F我n年代埃吨[年代]→年代埃吨年代）(\mathrm{FinSet}[S] \to \mathrm{Set}^S)-理论等同于（强）有限单子的范畴放​​年代年代埃吨年代\mathrm{Set}^S。

虽然单子理论对应性在一定程度上证明了这个定义的合理性，但我们希望其他经典结果也能适用于这个环境。这些定义的一个很好的结果是，正如经典代数理论的理论可以看作是集合类上（有限）单子理论的结果一样，杰杰j-理论可以看作是理论的结果杰杰j-相对单子。例如，我们可以观察到，遗忘函子来自模型类别杰杰j-理论（相当于相应（相对）单子的代数范畴）在以下温和假设下是可以理解的：杰杰j。

定理 (3.2.5).设j :一个→ E杰：一个→埃j \colon \mathcal A \to \mathcal E展示自由的共同完成一个一个\mathcal A属于某一类φφ\Phi余极限。那么相应的 monad（以及遗忘函子）是φφ\Phi-同连续。

我们还可以得到代数函子（即代数理论的态射所诱导的模型类别之间的函子）在某些余完备性假设下允许左伴随的事实的概括。为简单起见，我将在比严格必要的更强的假设下陈述它，但通常在例子中存在（有关精确陈述，请参阅 Arkor–McDermott 的示例 2.13 的结果。

定理。设ΨΨ\Psi是一个合理的权重类，并让j :一个→ E杰：一个→埃j \colon \mathcal A \to \mathcal E展示自由完成的ΨΨ\Psi-共完全类别一个一个\mathcal A在下面ΨΨ\Psi-平坦余极限。然后模型类别对于每个杰杰j-理论是局部的ΨΨ\Psi-可呈现，并且每个态射杰杰j-理论引发了ΨΨ\Psi– 它们的模型类别之间有可访问的单子右伴随。

另一个值得一提的结果是，我们可以描述模型的类别杰杰j-理论根据它们的遗忘函子，通过经典单子性定理的相对类似物；这是的主要结果。

定理。设乌：十→ E乌：十→埃U \colon \mathcal X \to \mathcal E是一个函子。然后乌乌U展示了杰杰j-理论当且仅当乌乌U承认左派杰杰j-相对伴随并创建杰杰j-绝对余极限。

在具体例子中，人们通常可以描述杰杰j-绝对余极限以获得更清晰的陈述（例如，经典代数理论的情况）。

由于这个答案已经很长了，我将在这里结束，但如果您提到您感兴趣的具体结果，我很乐意证明进一步的参考，例如，关于这种背景下代数理论的其他经典定理的类似物。我还应该提到，以上所有内容对于单范畴（甚至）中的丰富性更普遍地成立；事实上，我提到的工作发生在的背景下，因此对于内部代数理论等更普遍地成立。

附录。在评论中，Martin Brandenburg 提到他们对理论的呈现很感兴趣。在这方面，我应该提到 Lucyshyn-Wright 和 Parker 的作品，例如，，它发展了一种与上述类似的通用性水平（至少在丰富类别的设置中）的呈现概念。

我本来想写一个长答案，但 varkor 抢了风头。我认为他的答案非常好，我想用一些我认为相关的参考资料来补充它。

以下参考文献的总体基调是，集合上的单子尤其是集合上的丰富单子。当涉及到将单子解释为理论时，这并非无关紧要。当然，本着神经单子（以及一般相对单子）的精神，人们仍然可以发展很多理论。但当我们采取更像 Yoneda 的观点时，比如说，本着完备性定理的精神，丰富性开始变得重要。

• Rosický，度量单子。
• 罗西基，离散方程理论。
• Adámek 等人，《定量代数和度量单子的分类》。
• Adámek，作为范畴的定量代数的种类。

上述论文均受到Plotkin 等人在定量代数一般主题上发起的最新发展的启发，但（尤其是Rosický的工作）涵盖了许多其他情况，提供了很好的直觉。

我应该强调的是，《定量代数和度量单子的分类》强调了丰富单子和一般单子之间的差距，澄清了（或者我应该说暗示了）两种方法在逻辑影响方面的差异。

YouTube 上还有Adámek在布尔诺代数研讨会上发表的，他在其中讨论了这个问题。