Question

我正在尝试推导出圆锥的体积，而无需将圆锥中的液体倒入圆柱体三次。我在考虑旋转一个底边为 $r$ r和身高 $h$ h经过 $360^{\circ}$ 360^{\circ}形成一个圆锥体。三角形的面积是 $\frac{b h}{2} = \frac{r h}{2}$ \frac{bh}2=\frac{rh}2如果我旋转它 $360^{\circ}$ 360^{\circ}，它不会给我圆锥的体积吗？根据我的说法应该是 $\frac{1}{2} \times r \times h \times 2 π$ \frac12\times r\times h\times2\pi，自从 $360^{\circ}$ 360^{\circ}）是 $2 π$ 2\pi弧度？

请不要使用微积分或任何高等数学，我还太年轻。

谢谢你！

乘以的结果 $2 π$ 2\pi根据半径为 $r$ r，如果你将这个论点扩展到圆锥的表面积，这将会很有意义。我不明白它如何适用于它的体积。 — 
我认为没有微积分你无法计算圆锥的体积。简而言之，这里使用微积分的要点是，将线段绕其一个端点旋转形成的圆的面积是 $π l^{2}$ \pi l^2在哪里 $l$ l是线段的长度。同样的思路可以应用到旋转 $2 D$ 2D如果我们认为它是由非常小的宽度的线段组成，那么我们就可以计算出它绕轴的形状。 — 
另外，如果你看到你认为应该是圆锥体积的公式，它具有面积的尺寸，而不是体积的尺寸。 — 
你的公式缺少一个因子。因为体积必须是 3 个维度（宽度乘以宽度乘以高度）的乘积。在你的情况下，最后一个因子可能是 $2 π r$ 2\pi r，基底的周长。 —

Answer 1

如果您想跳过微积分，请使用第二帕普斯定理（参见维基百科：），该定理基于隐藏在幕后的积分。

它要求你计算三角形质心的位置，特别是它与旋转轴的距离。

您还可以使用卡瓦列里原理 ( )，它提供了一种隐蔽的积分方法。

Answer 2

由于我们不应该在这里使用微积分，我想展示物理学家如何处理这样的问题。

我想说，无需进一步证明，

如果金字塔和圆锥的底面积和高度相同，则它们的体积完全相同。（根据卡瓦列里原理）
金字塔的体积与高度和底面积成正比。所以 $V = C S h$ V=CSh我们需要找到 $C$ C。

现在我们考虑一个金字塔，其底面积 $S$ S和身高 $h$ h并将其切割为 $\frac{2}{3} h$ \frac{2}{3}h，按比例，横截面积为 $\frac{1}{9} S$ \frac{1}{9}S：

让 $V_{1}$ V_1， $V_{2}$ V_2， $V_{3}$ V_3为下部部分的体积，如图所示， $V_{0}$ V_0是顶部部分的体积。我们可以很容易地推断出

$V_{1} = \frac{2}{27} S h$ V_1=\frac{2}{27}Sh

$V_{2} = \frac{1}{2} V_{1} = \frac{1}{27} S h$ V_2=\frac{1}{2}V_1=\frac{1}{27}Sh

$V_{3} = C \frac{2}{27} S h$ V_3=C\frac{2}{27}Sh

$V_{0} = C \frac{1}{27} S h$ V_0=C\frac{1}{27}Sh

所以

$V_{1} + 4 V_{2} + 4 V_{3} + V_{0} = C S h$ V_1+4V_2+4V_3+V_0=CSh

$\frac{2}{9} + \frac{1}{3} C = C$ \frac{2}{9}+\frac{1}{3}C=C

$C = \frac{1}{3}$ C=\frac{1}{3}

这就是期望的结果。

Answer 3

系数 $\frac{1}{2}$ \frac12是不对的，因为当你扫描三角形时，点的轨迹并不都具有相同的长度。你可以将其与沿长度平移的三角形进行对比 $2 π r$ 2\pi r而不是旋转，并生成一个棱柱。棱柱具有体积 $\frac{1}{2} \times r \times h \times 2 π r$ \frac12\times r\times h\times 2\pi r。圆锥的体积一定较小。

让你了解为什么 $3$ 3，考虑一堆 $n$ n半径不断增大的圆盘 $1$ 1到 $n$ n. 磁盘的容量是 $π \times i^{2} \times 1$ \pi\times i^2\times 1以及总体积

π （ 1 + 4 + 9 + 16 + \dots n 2) = π （ n 3 3 + n 2 2 + n 6 ） 。

\pi(1+4+9+16+\cdots n^2)=\pi\left(\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac n6\right).

[你可以检查这个公式中的一些值 $n$ n。

现在与具有相同高度和底半径的圆柱体的体积进行比较，其比率为

π （ 1 + 4 + 9 + 16 + \dots n 2 ） n π n 2 = 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 。

\frac{\pi(1+4+9+16+\cdots n^2)}{n\,\pi n^2}=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}.

当你让 $n$ n增长，这往往 $\frac{1}{3}$ \frac13。

你可以重复推理 $n$ n高度切片 $\frac{h}{n}$ \frac hn和半径 $\frac{r i}{n}$ \frac{ri}{n}，你将获得相同的比率 $\frac{1}{3}$ \frac13。圆锥的体积始终是圆柱体积的三分之一。

奖励1：椭圆柱和圆锥。

如下所述，比例保持不变 $\frac{1}{3}$ \frac13因为你可以在主轴上拉伸空间，一切都保持比例。所以如果你拉伸来调整高度 $h$ h，并拉伸圆形基础以调整矩形内的边 $2 a, 2 b$ 2a,2b，圆就变成了椭圆，就得到了直椭圆圆柱的公式：

π \times a \times b \times h 。

\pi\times a\times b\times h.

对于直椭圆锥：

1 3 π \times a \times b \times h 。

\frac13\pi\times a\times b\times h.

奖励2：球体的体积。

考虑一个底部位于原点的半球体，将其切成薄片。高度处的截面半径 $z$ z根据方程增长 $r_{z}^{2} + z^{2} = r^{2}$ r_z^2+z^2=r^2或者 $r_{z} = \sqrt{r^{2} - z^{2}}$ r_z=\sqrt{r^2-z^2}。因此切片的体积与 $n^{2} - i^{2}$ n^2-i^2，通过重复上述计算，我们将找到比率 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ 1-\frac13=\frac23相对于高度为 $r$ r。

因此整个球体的体积是

4 3 π r 3 。

\frac43\pi r^3.

奖励3：椭圆体的体积。

现在你可以拉伸球体，使其与边长的平行六面体接在一起 $2 a, 2 b, 2 c$ 2a,2b,2c你会得到一个体积为

4 3 π \times a \times b \times c 。

\frac43\pi\times a\times b\times c.

旋转 – 圆锥的体积

最佳答案
3

旋转 – 圆锥的体积

最佳答案 3

最佳答案
3