Question

大师列夫·阿尔伯特每天至少下一场棋以保持状态，每周下棋不超过 10 场以避免过度疲劳。如果他下棋时间足够长，是否会有连续几天他正好下 23 场比赛？

澄清：

发完这个问题后，我意识到“周”这个词含义不明确。我们假设它是指连续七天的任何一段时间。

归因：

大部分是 1986 年南安普敦数学奥林匹克竞赛；部分是我。

每周限额是否适用于标准周（例如周一至周日），还是连续七天的滚动总数？ — 
@noedne 谢谢你的提问！我已更新我的问题，将“周”定义为任意连续 7 天。 —

Answer 1

这是

真的。

指定任意一个星期一作为第一天，并让 $a_{1}, a_{2}, . . .$ a_1,a_2,…表示序列 $a_{k}$ a_k是截至当天进行的游戏总数 $k$ k。

现在，

前 24 个数字中 $a_{k}$ a_k在这个列表中，一定有两个数除以 23 后余数相同。设 $a_{i}, a_{j}$ a_i, a_j和 $i < j$ i<j有两个这样的数字。由于勒夫每天至少打一场比赛，这两个数字不可能相同。但同时，由于这 24 天只落在四周的时间跨度内，这两个数字的差异必须小于 40（实际上甚至更小，但这并不重要）。因此，它们的差异必须恰好是 23，这意味着他必须在 24 天内打了恰好 23 场比赛。 $(i + 1)$ (i+1)-站立 $j$ j第天。

如果你能解释一下“必须有两个”这句话中的“为什么”，那就更好了。这是鸽巢原理，但要说清楚，而不是仅仅断言。 —

Answer 2

这里有一个替代证明，虽然不太优雅，但年轻的解题者可以理解。

每 7 天最多 10 次的限制意味着每天最多可以玩 4 场游戏，因此任何一组连续的四个 1 都会导致字符串加起来等于 23。这是因为我可以从第一个 1 开始，然后从那里添加，直到得到超过 23 的数字。这个数字最多可以是 26（22 加上然后是 4），因此我从第四个 1 开始得到 23。

但首先要有 4，它后面必须有六个 1，因此，只要有 4，就必然会产生一个总和为 23 的子序列。因此，如果有可能得出一个没有子序列加起来等于 23 的序列，那么每天的最大游戏次数实际上是 3。但按照同样的逻辑，这意味着任何三个 1 的序列都会产生一个总计为 23 的字符串，而以 3 开头的 7 天期间有三个连续的 1。因此，实际上假定的序列必须全是 1 和 2！

但是，任何连续有两个 1 的序列都会产生一个 23 子序列。同样，一个以 2 开头、总数为 10 或更少的 7 天序列必须连续有两个 1，因此在给定的限制下，完全不可能构造一个没有子序列的和为 23 的序列。

对我来说，这比其他解决方案更容易理解，谢谢！一个小小的挑剔实际上并没有改变解决方案的完整性：（rot 13）gurer VF n jnl gb nygreangr barf naq gjbf va nal tvira jrrx（1212121），ohg guvf jvyy bayl shapgvba sbe bar jrrx，nf gelvat gb ercrng vg jvyy erfhyg va n frdhrapr jvgu gjb pbafrphgvir barf ng gur raq bs gur svefg jrrx naq gur fgneg bs gur frpbaq。 —

数学 – 如果他打球的时间足够长，那么他会连续几天打 23 场比赛，这是真的吗？ – 令人费解的

最佳答案
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数学 – 如果他打球的时间足够长，那么他会连续几天打 23 场比赛，这是真的吗？ – 令人费解的

最佳答案 2

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