Question

给定一个连通开集 $Ω \subset R^{n}$ \Omega\subset \mathbb{R}^n并让 $K \subset Ω$ K\subset \Omega紧凑。表示凸包 $K$ K经过 $C$ C. 是真的吗 $Ω - C$ \Omega-C是否仍然连通？是否可以将其推广到范数向量空间？

如果 $n = 1$ n=1，那么这是不正确的，因为我们可以采取 $Ω = (0, 1)$ \Omega=(0,1)和 $K = [1 / 4, 3 / 4]$ K=[1/4,3/4]。但我只关心 $n \geq 2$ n\geq 2。

本来我只是想证明存在一个紧集 $S$ S包含 $K$ K使得 $Ω - S$ \Omega-S是连通的。下图大概说明了我为什么要考虑凸包。

更新：我喜欢 Pranay 的反例。不过，我还是想解决我原来的问题。也就是说，对于任何连通开集 $Ω$ \Omega以及一套紧凑的套装 $K \subset Ω$ K\subset\Omega，我总能找到一套紧凑的 $S$ S包含 $K$ K使得 $Ω - S$ \Omega-S还连接着吗？

我想你可能想假设 $K$ K 是紧凸子集 $Ω$ \Omega首先。取凸包很容易扰乱连通性。如果你假设 $K$ K首先是凸的，这可能会有所帮助： —

Answer 1

考虑两个开球的并集 $Ω = B_{1} (- 1 + ϵ, 0, \dots, 0) \cup B_{1} (1 - ϵ, 0, \dots, 0)$ \Omega = B_1(-1+\epsilon,0,\ldots,0) \cup B_1(1-\epsilon,0,\ldots,0)对于一些小 $ϵ > 0$ \epsilon>0. 这是一个连通开集。

现在考虑两个封闭球的并集 $K = B_{1 / 2} (- 1 / 2, 0, \dots, 0) \cup B_{1 / 2} (1 / 2, 0, \dots, 0)$ K = B_{1/2}(-1/2,0,\ldots,0) \cup B_{1/2}(1/2,0,\ldots,0).里面是一套紧凑型 $Ω$ \Omega。

明显去除凸包 $C$ C的 $K$ K从 $Ω$ \Omega给出一个不连通集.

以下是二维的示意图：

更新后问题的答案：

取开集 $Ω$ \Omega以原点为中心，具有内半径和外半径的开放环 $1$ 1和 $4$ 4。显然，它是连通的。取紧凑子集 $K$ K以原点为中心，具有内半径和外半径的封闭环 $2$ 2和 $3$ 3很容易看出，删除任何紧子集 $S$ S包含 $K$ K从 $Ω$ \Omega给出一个不连通集.

对于更简单的版本，请采取 $Ω$ \Omega成为点的凸包 $(x, \pm 2 x)$ (x, \pm 2x)和 $C$ C作为要点 $(\pm 1, \pm 1)$ (\pm 1, \pm 1)。 — 
@copper.hat 凸包不会是 $(x, \pm 2 x)$ (x,\pm2x)是整个飞机吗？ $x$ x？ — 
抱歉，我指的是两条线之间的点，而不是凸包。但是，结果集是封闭的而不是开放的，所以请忽略我的评论。 — 
嗨，我喜欢你的反例。不过，我仍然想解决我原来的问题。你能看看我对帖子的更新吗？ —

一般拓扑 – 连通开集减去紧凸集是否连通？ – 数学

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