您在代数几何和代数数论中遇到的定义与通常称为函数场类比的原理相关。在这里，我将详细介绍与您询问的具体构造相关的类比，并在下面的表格中总结该类比。最后，我将简要介绍其中一些构造如何不仅通过类比实现，而且可以作为更一般理论的特殊实例实现。

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函数场类比

给定一个（完美）场钾钾k光滑射影曲线之间存在对应关系碳/千碳/钾C/k和函数域（超越度一的纯超越延拓）钾/千钾/钾K/k。正如 Silverman 所暗示的，这种对应关系使我们能够以几乎像代数数论一样的方式讨论曲线的几何学。事实上，Rosen 的精彩著作《函数域中的数论》将 Riemann-Roch 和 Weil 猜想等曲线的“几何”定理纯粹陈述为函数域本身的定理并加以证明。当钾钾k是一个有限域，这里的类比变得更加强烈，以至于代数数论的一些发展（最显著的是岩泽理论）甚至受到有限域上函数域理论的启发。

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分支指数

为了了解数论和几何衍生指标是如何相同的，让我们重新定义代数数论中的定义。给定一个素数页页\mathfrak{p}数域钾钾K，我们可以考虑本地化（哦钾）（页）（哦钾）（页）(\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}，它是钾钾K由以下形式的元素组成αβαβ\frac{\alpha}{\beta}（α , β∈哦钾α，β∈哦钾\alpha,\beta \in \mathcal{O}_K）使得β∉p​β∉页\beta \notin \mathfrak{p}。这个环是离散估值环（DVR），因此它的唯一最大理想是页∗= p（哦钾）（页）页∗=页（哦钾）（页）\mathfrak{p}_* = \mathfrak{p}(\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}任何π∈页∗∖页2∗π∈页∗∖页∗2\pi \in \mathfrak{p}_*\setminus \mathfrak{p}_*^2. 给定任意α∈​钾×α∈钾×\alpha \in K^\times有一个唯一的分解因数

\alpha\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}_1^{v_1}\cdots\mathfrak{p}_n^{v_n}

其中每个页我页我\mathfrak{p}_i是素数，并且五我∈Z​五我∈是v_i \in \mathbb{Z}。由于任何 DVR 都是一个主理想域，因此也是 UFD，我们也可以考虑αα\alpha在本地化方面具有独特的素数（哦钾）（页）（哦钾）（页）(\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}。然而，由于只有一个素数（所选的均匀化器ππ\pi），我们有一个因式分解α = uπ钾α=你π钾\alpha = u\pi^k在哪里u ∈ (哦钾）×（页）你∈（哦钾）（页）×u \in (\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}^\times和k∈Z​​钾∈是k \in \mathbb{Z}。这里的主要属性是指数钾钾k在这个分解中，正是页页\mathfrak{p}在之前的分解中αα\alpha变成素理想。这个想法是，我们可以定义分支指数e （p | p ）埃（页|页）e(\mathfrak{p}|p)通过利用ππ\pi在分解页页p在本地化（哦钾）（页）（哦钾）（页）(\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}，而不是考虑完全分解页哦钾页哦钾p\mathcal{O}_K转化为原始理想。

将其与衍生指数的定义进行比较埃φ（页）埃φ（磷）e_\phi(P)：我们考虑函数域的映射φ∗：K（碳2）→ K（碳1）φ∗：钾（碳2）→钾（碳1）\phi^* : K(C_2) \to K(C_1)。根据前面提到的对应关系，我们也可以将其视为函数域的扩展左/右大号/钾L/K。与数域的情况不同，对于整数环，目前还没有一个清晰的概念大号大号L或者钾钾K我们可以做一个可行的定义，但这里没有必要。相反，我们直接定义一个素数钾钾K（分别大号大号L）作为 DVR欧⊂K​哦⊂钾\mathcal{O} \subset K具有最大理想米米\mathfrak{m}使得分母为( O )=K​​Fr一个c（哦）=钾\mathrm{Frac}(\mathcal{O}) = K（请注意，这准确地描述了本地化（哦钾）（页）（哦钾）（页）(\mathcal{O}_K)_{(\mathfrak{p})}来自数域的情况）。这里的结果是，这些素数和曲线上的点之间存在直接的对应关系磷∈碳1磷∈碳1P \in C_1（分别碳2碳2C_2）。现在给定一个点磷∈碳1磷∈碳1P \in C_1和非恒定有理映射φ ：碳1→碳2φ：碳1→碳2\phi : C_1 \to C_2，点φ （P) ∈碳2φ（磷）∈碳2\phi(P) \in C_2给了我们一个素数ķ [碳2]φ （P）⊂ k (碳2) = K钾[碳2]φ（磷）⊂钾（碳2）=钾k[C_2]_{\phi(P)} \subset k(C_2) = K。从算术上讲，我们可以选择任何统一器，因为它们都会产生相同的分解，所以我们固定这样一个元素吨φ （P）吨φ（磷）t_{\phi(P)}. 现在，重点是磷∈碳1磷∈碳1P \in C_1同样地，我们得到了一个素数ķ [碳1]磷⊂ k (碳1) =大号钾[碳1]磷⊂钾（碳1）=大号k[C_1]_P \subset k(C_1) = L，正如在数域案例中讨论的那样，我们可以考虑固定均匀化器的力量吨磷吨磷t_P在分解吨φ （P）吨φ（磷）t_{\phi(P)}在ķ [碳1]磷钾[碳1]磷k[C_1]_P. 这正是衍生指数埃φ（页）埃φ（磷）e_\phi(P)西尔弗曼已经定义了！

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Silverman 给出的度公式通常只在代数封闭域上成立。对于任意域钾钾k，我们定义惯性指标fφ（页）fφ（磷）f_\phi(P)如下：要点磷∈碳1磷∈碳1P \in C_1和φ （P) ∈碳2φ（磷）∈碳2\phi(P) \in C_2给我们 DVRķ [碳1]磷钾[碳1]磷k[C_1]_P和ķ [碳2]φ （P）钾[碳2]φ（磷）k[C_2]_{\phi(P)}具有最大理想米磷米磷\mathfrak{m}_P和米φ （P）米φ（磷）\mathfrak{m}_{\phi(P)}分别。地图φ∗:千（碳2) → k (碳1）φ∗：钾（碳2）→钾（碳1）\phi^* : k(C_2) \to k(C_1)产生残差场之间的映射κ ( φ ( P) ) → κ ( P）κ（φ（磷））→κ（磷）\kappa(\phi(P)) \to \kappa(P)， 在哪里κ ( P) = k [碳1] /米磷κ（磷）=钾[碳1]/米磷\kappa(P) = k[C_1]/\mathfrak{m}_P（和类似的κ ( φ ( P））κ（φ（磷））\kappa(\phi(P))）这张地图使得κ ( P）κ（磷）\kappa(P)的有限延伸κ ( φ ( P））κ（φ（磷））\kappa(\phi(P))，这种延伸的程度就是我们的惯性指标fφ（页）fφ（磷）f_\phi(P)由于曲线和函数场之间的对应关系是双向的，因此点φ− 1（问）φ−1（问）\phi^{-1}(Q)对于任意问∈碳2问∈碳2Q \in C_2与素数相对应k （碳1）钾（碳1）k(C_1)躺在ķ [碳2]问钾[碳2]问k[C_2]_Q。与数字字段一样，我们有公式

\sum_{\mathfrak{P}|\mathfrak{m}_Q} e(\mathfrak{P}|\mathfrak{m}_Q)f(\mathfrak{P}|\mathfrak{m}_Q) = \sum_{P \in \phi^{-1}(Q)} e_\phi(P)f_\phi(P) = [k(C_1) : k(C_2)].
这些公式是相同的，是 Dedekind 域扩展中素数更一般理论的一部分（与分支一样，我们也可以通过仅查看局部化来定义数场设置中的惯性指标）。作为 Nullstellensatz 的结果，剩余场κ ( P）κ（磷）\kappa(P)是有限扩展钾钾k，所以当钾钾k是代数封闭的，我们有κ ( P) = κ ( ϕ ( P) ) = kκ（磷）=κ（φ（磷））=钾\kappa(P) = \kappa(\phi(P)) = k，因此所有惯性指标fφ（页）fφ（磷）f_\phi(P)是111。这给了我们 Silverman 的公式。

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皮卡德集团

这里与理想阶级群体的正确类比实际上是图(C​​）磷我c（碳）\mathrm{Pic}(C)， 不是图片​​0（C）磷我c0（碳）\mathrm{Pic}^0(C)。这里的推理是“几何的”，因为 Picard 群和理想类群都是方案的 Picard 群的特例。图片​​0（C）磷我c0（碳）\mathrm{Pic}^0(C)在代数几何中占有重要地位，因为它产生了所谓的雅可比矩阵碳碳C；不幸的是，我不知道代数数论中是否存在与此类似的情况。不过，以下两个序列都是精确的：

1 \to k^\times \to k(C)^\times \to \mathrm{Div}(C) \to \mathrm{Pic}(C) \to 0

1 \to k^\times \to k(C)^\times \to \mathrm{Div}^0(C) \to \mathrm{Pic}^0(C) \to 0.
正如您指出的，这些与代数数论中的基本正合序列非常类似：

1 \to \mathcal{O}_K^\times \to K^\times \to J_K \to \mathrm{Cl}_K \to 0.
回想一下钾钾K可以作为理想的唯一分解的结果，被视为自由阿贝尔群的元素⨁页韓[韓]⨁页是[页]\bigoplus_{\mathfrak{p}} \mathbb{Z}[\mathfrak{p}]在……之上钾钾K. 将其与以下定义进行比较迪夫（C​​) =⨁磷韋斯​​]德我五（碳）=⨁磷是[磷]\mathrm{Div}(C) = \bigoplus_P \mathbb{Z}[P]。此外，如果我们查看戒指ķ [ C]钾[碳]k[C]作为“整数环”钾钾k（这对于漂亮的曲线来说是合理的），我们实际上有ķ [ C]×=钾×钾[碳]×=钾×k[C]^\times = k^\times，因此精确序列的项在某种意义上是相同的。但请注意，这并不意味着图(C​​）磷我c（碳）\mathrm{Pic}(C)理想的班级群体是ķ [ C]钾[碳]k[C]. 理想类别群体遗漏了无穷远点的贡献。

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如上所述，我在这里留下一个表格作为参考，总结了曲线、函数场和数场之间的一些对应关系/类比。

\begin{array}{ccc|c}
\text{Smooth projective curves } C/k & \iff & \text{Function fields } K/k & \text{Number fields } L/\mathbb{Q}\\ \hline
\text{Points } P \in C(\bar{k})/\mathrm{Gal}(\bar{k}/k) & \longleftrightarrow & \text{Primes } \mathcal{O} \subset K & \text{Primes } \mathfrak{p} \subset \mathcal O_L\\
|\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)\cdot P| & =\!= & [\mathcal{O}/\mathfrak{m} : k] & f(\mathfrak{p}|p) = [\mathcal{O}_L/\mathfrak{p} : \mathbb{F}_p] \\
\text{Nonconstant rational maps } C_1 \to C_2 & \longleftrightarrow & \text{Finite Extensions } K’/K & \text{Finite extensions } L’/L\\
\text{Divisors } D = \sum_P n(P)[P] \in \bigoplus_P \mathbb{Z}[P] & \longleftrightarrow & \text{Elements } A \in \bigoplus_{\mathcal O} \mathbb{Z} [\mathcal{O}] & \text{Elements } B \in \bigoplus_{\mathfrak p} \mathbb{Z}[\mathfrak p]\\
\text{Principal divisors } \mathrm{div}(f) & \longleftrightarrow & \text{Elements } f \in K^\times & \text{Fractional ideals } \frac{\alpha}{\beta}\mathcal{O}_L\\
\text{Picard group } \mathrm{Pic}(C/k) & \longleftrightarrow & \text{Class group } \mathrm{Cl}_K = \mathrm{Div}(K)/\mathcal{P}(K) & \text{Ideal class group } \mathrm{Cl}_K
\end{array}

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几何透视

最后，我想谈谈“几何”视角，它真正统一了上面讨论的代数几何和代数数论的思想。就像我们把曲线当作数论一样，我们也可以通过思考方案以几何方式研究数域中的算术。代替数域钾钾K，我们可以考虑仿射方案规格哦钾规格⁡哦钾\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K；素数钾钾K现在的点是规格哦钾规格⁡哦钾\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K对于任何（合理的）方案，我们都可以定义它的 Picard 群，正如我之前提到的，理想的类群钾钾K实际上是 Picard 群规格哦钾规格⁡哦钾\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K，顾名思义，图(C​​）磷我c（碳）\mathrm{Pic}(C)是射影方案的 Picard 群项目ķ [ C]项目⁡钾[碳]\operatorname{Proj} k[C]。进一步地，数域中的分支可以解释为分支映射规格哦大号→规格哦钾规格⁡哦大号→规格⁡哦钾\operatorname{Spec}\mathcal{O}_L \to \operatorname{Spec}\mathcal{O}_K（其中该映射的度恰好是[长:宽][大号：钾][L:K]）几何学上，我们可以在以下封面描述中看到分支规格雙[1 +5√2] →规格是规格⁡是[1+52]→规格⁡是\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}] \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}：

在大多数点规格是规格⁡是\operatorname{Spec}\mathbb{Z}，我们有一个分支覆盖，即两个不同的点映射到一个点。在几乎所有其他点上，都有一个点向下映射；这是惯性，反映了剩余场不是代数封闭的事实。也就是说，从道德上讲，应该有两个点映射到我们选择的点规格是规格⁡是\operatorname{Spec}\mathbb{Z}，但这些点实际上“存在于”代数扩展中，并且是伽罗瓦共轭的，因此对于基数来说，它们看起来像一个点。最后，555，有一个更粗的“双点”，这是分支；这里应该再次有两个点映射到555，但现在这些点重合，封面“自身加倍”。因此，你可能会想到方程∑P | pe （P | p）f（P | p）= [ L ：K]∑磷|页埃（磷|页）f（磷|页）=[大号：钾]\sum_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}} e(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})f(\mathfrak{P}|\mathfrak{p}) = [L:K]代表着某种意义上总是存在[长:宽][大号：钾][L:K]点规格哦大号规格⁡哦大号\operatorname{Spec}\mathcal{O}_L映射到任何给定的p∈规格​哦钾页∈规格⁡哦钾\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}\mathcal{O}_K。

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一些参考资料

最后，我将列出该材料的一些参考资料。

• 洛伦齐尼 (Lorenzini) 的书《算术几何的邀请》同时涵盖了曲线几何和代数数论，因此这是一本很好的入门资料，它并排发展了曲线和数域之间的类比。
• 我提到，Rosen 的书从纯数论角度涵盖了大量曲线理论。他还（顾名思义）讨论了函数域中的数论，并偶尔评论了该理论的几何解释。
• 对于方案论代数几何，有很多很好的参考书目，例如 Hartshorne、Shafarevich、Vakil、Liu、Eisenbud 和 Görtz-Wedhorn。我从 Görtz-Wedhorn 那里学到了，所以我知道这本书在处理方案时讨论了许多代数数论的例子。