这并不意味着一个位置完全已知的粒子就没有动量，即动量为零。如果它的动量为零，那么它（对于有质量的粒子）的速度就会为零，位置和动量 的不确定性就会同时为零，而这是不确定性原理明确禁止的。

可视化的标准方法如下：

我们想象一个巨大的量子粒子被困在一个宽度为 w 的一维势阱中。我们发现它大部分时间都位于势阱的中间某处，并以平均速度 v 在那里抖动。

现在我们压缩宽度，这样粒子的生存空间就更小了。它的位置不确定性下降了，但平均动量上升了：它比以前抖动得更快了。我们再压缩一点，它的位置不确定性又下降了，作为回应，它的随机抖动变得越来越疯狂。

在压缩过程中的某个时刻，粒子的抖动速度接近光速，其平均动量不再跟踪其质量：对我们来说，它的行为就像它的质量（实际上是不变的）在增加一样。在某个时刻，它的能量足以将另一个粒子从真空中拉出来，然后我们不仅不知道它移动的速度有多快，而且我们再也无法说出有多少粒子存在。

整个过程在 Peter Woit 的书《Not Even Wrong》的前言中解释得非常清楚。

量子力学标准公式中的假设是关于精确值的：当粒子沿着十十x是定义的（=它存在），那么它的动量十十x未定义（=不存在）。

在常见情况下，两个可观测量的定义都不太明确。

这是因为像粒子这样的量子对象在理论上与经典对象不同。人们（也非常重要）试图构建一种更深层次的经典类型理论（其中粒子可以按照我们在经典力学中所期望的方式进行描述），以解释整个量子现象学。

所有这些尝试都面临一些无法解决的结果，这些结果证明，一些物理上重要的问题（与因果关系、现实主义、非语境性有关）应该得到解决。这些更深层次的经典解释，如果有的话，不可能以人们天真期望的形式存在。

最后，除了非相对论领域中所谓的 Bohm de Broglie 公式之外，所有这些尝试都不能被视为标准非经典公式的真正竞争对手。

归根结底，整个问题涉及对 QM 所呈现的不确定性的解释：它是本体论的还是认识论的？认识论仍然存在（混合状态的一些解释在某种程度上可以被认为是认识论的），但很难（我个人认为不可能）断言量子不确定性是完全认识论的。

如果您将其视为位置和频率，您可能会更好地理解它。如果您有一个具有单一频率的波，那么该波必须遍布整个空间，因此它没有一个可以认为它位于空间中的单个点。另一方面，如果您有一个在空间中更受限制的波，它就没有单一频率 – 如果您对其进行傅立叶分析，您会发现它具有很大的频率分量范围，因此您无法为其分配单一频率。

局限于空间中某一点的波函数具有无限分布的频率（即动量）分量——它没有零频率！

当试图对某个问题获得直觉时，走极端可能会有所帮助，例如，当你把某物扔到船外时，那些关于水位的问题：想象它是某种极端的东西，比如雷神之锤（尼尔·德格拉斯·泰森说它是白矮星物质），这会有所帮助。

其他时候它没有帮助。这个网站上有多少问题有“一个巨大的物体以光速移动”，此时什么也做不了。我觉得你这样做了：

“精确定位粒子的准确位置”

从那里我可以建立一个坐标系，其中的确切位置是十0十0x_0， 所以：

\langle x \rangle = x_0

并且不会引发“精确度与精确度之争”：

\langle (x-x_0)^2 \rangle = 0

这让我

\psi(x) = A\delta(x-x_0)e^{i\phi}

我不确定是否要标准化，但我要设置A = 1一个=1A=1如果它导致问题，请返回它。全局阶段不是可观察的，因此我将设置ϕ = 0φ=0\phi=0。最后，我进行坐标转换：x → x +十0十→十+十0 x \rightarrow x + x_0 ，因此您的问题现在可以改写为：

如果我有一个纯态粒子：

\psi(x) = \delta(x)

我能了解哪些有关动量的信息？

QM 告诉我们平均动量是：

\bar p = \langle \psi|-i\hbar\frac d{dx}|\psi \rangle = 0

不确定性为：

\sigma_p = \langle \psi|(-i\hbar\frac d{dx}-\bar p)^2|\psi \rangle

\sigma_p = \langle \psi|-\hbar^2\frac {d^2}{dx^2}|\psi \rangle=\infty

现在我实际上并没有评估这些表达式。我只是输入了000和∞∞\infty，来营造气氛。

由于最初的问题是：

“我们对动量了解多少？”

答案是：

一切

我们可以用一般表达式计算动量空间中的（非标准化）波函数：

\phi(p) = \frac 1 {\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}
\psi(x)e^{-ipx/\hbar} dx

对我们来说就是：

\phi(p) = \frac 1 {\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}
\delta(x-x_0)e^{-ipx/\hbar} dx = e^{2\pi ipx_0/\hbar} = 1

注意：我把十0十0x_0回到ψψ\psi只是为了展示它如何影响动量本征态的相位。

处于动量本征态意味着空间平移相当于相位旋转，旋转速率与动量成比例。

在理想状态下，所有动量都具有相同的权重（振幅），相位也恰到好处，因此位置空间表征恰好落在十0十0x_0因为这只是一个坐标，所以我可以将其设置为000并得到：

\phi(p) \propto 1

所有动量都相等，这是在位置空间中获得 delta 函数所必需的，并且它们都具有相同的相位，这是将 delta 函数置于x = 0十=0x=0。

回想起来，我认为这个极端问题在这里确实有效。我们总是把动量看作速度，例如：

p = mv

但这是 QM 事实的一个经典结果，即动量算子是平移的生成器，而动量本征态是具有特征值的平移本征态……让我们明确地解决它：

T(\delta x)[\psi_p(x)] =
T(\delta x)[e^{ipx/\hbar}]

T(\delta x)[\psi_p(x)]= e^{ip(x + \delta x)/\hbar}

T(\delta x)[\psi_p(x)]= e^{ipx/\hbar}e^{ip\delta x/\hbar}

T(\delta x)[\psi_p(x)]= e^{ip\delta x/\hbar}\psi_p(x)

T(\delta x)[\psi_p(x)]= \lambda \psi_p(x)

…具有特征值：

\lambda = e^{ip\delta x/\hbar}

无论如何，这就是动量在量子力学中的重要性，如果你考虑一个复杂的11^1函数既在位置上是确定的，同时也是平移的特征态，你会对 HUP 有一些直观的认识σ十σ十\sigma_x和σ页σ页\sigma_p。

[1] 我强调“复杂”，因为你会看到很多流行科学（如 YouTube）内容试图用真实的波函数来解释 HUP。这不会给你直观的印象，反而会造成混淆。你需要考虑复杂的波函数，并研究平移和相位旋转之间的关系。

如果我们百分百准确地知道一个粒子的位置，就意味着这个粒子已经停止了。如果它停止了，它的动量就是零。然而，作为从这个原理得出的结论，在实践中，我们永远不可能百分百准确地知道一个粒子的位置。