Question

是否存在一个模型 $M$ \textit M的 $ZF$ \textit{ZF}（或者 $ZFC$ \textit{ZFC}）包含一个可定义的非平凡“超滤器” $O r d^{M}$ \sf Ord^{\textit M}我的意思是，有一些公式 $φ (x, y, \bar{p})$ \varphi(x, y, \overline p)以及适当的 $M$ \textit M-班级 $I$ I（那是， $I$ I可以定义为 $M$ \textit M)，使得以下成立：

（路口） $M ⊨$ \textit M \models对于每一个 $i, j \in I$ i, j \in I，有一些 $k \in I$ k \in I使得
$\forallα ，（ φ （ i ， α ，页 ¯ ¯ ¯) \land φ (j, α, 页 ¯ ¯ ¯ ） ⟺ φ （ k ， α ，页 ¯ ¯ ¯ ））$
\forall \alpha, (\varphi(i, \alpha, \overline p) \land \varphi(j, \alpha, \overline p) \iff \varphi(k, \alpha, \overline p))
（非平凡） $M ⊨$ \textit M \models对于每个序数 $β$ \beta存在一个 $i \in I$ i \in I使得 $\neg φ (i, β, \bar{p})$ \neg \varphi(i, \beta, \overline p)。
（向上闭合）对于每个 $C \subset D$ C \subset D，可定义的序数类 $M$ \textit M，如果有 $i \in I$ i \in I使得
$米 ⊨ C = {α∣φ （ i ， α ，页 ¯ ¯ ¯ ）}$
M \models C = \{\alpha \mid \varphi(i, \alpha, \overline p)\}存在一些 $j \in I$ j \in I以便
$M ⊨ D = {α ∣ φ (j, α, 页 ¯ ¯ ¯ ）}$
\textit M \models D = \{\alpha \mid \varphi(j, \alpha, \overline p)\}
（超性）对于每一个 $C$ C，可定义的序数类 $M$ \textit M， $M ⊨$ \textit M \models有些 $i \in I$ i \in I使得
$碳 = {α∣φ （ i ， α ，页 ¯ ¯ ¯ ）}$
C = \{ \alpha \mid \varphi(i, \alpha, \overline p)\}
或者

$碳丙 = {α∣φ （ i ， α ，页 ¯ ¯ ¯ ）}$
C^c = \{ \alpha \mid \varphi(i, \alpha, \overline p)\}

换句话说，我们有一个统一的定义 $M$ \textit M过滤器 $O r d^{M}$ \sf Ord^{\textit M}包含所有可定义类或其补集。对于可定义类而言，它是“超”的。

虽然这听起来有些离谱，但第三个属性并没有说明 $M$ \textit M实际上满足，所以我看不出有什么办法可以反驳这一点。另一方面，全局选择似乎不足以构建这样的东西。我们需要某种二阶全局选择，我不知道如何定义。

如果 $φ$ \varphi是 $Σ_{n}$ \Sigma_n，然后取 $C$ C属于……类 $Σ_{n + 1}$ \Sigma_{n+1}-反映序数。你的假设是 $C$ C是 $Σ_{n}$ \Sigma_n来自参数 $I$ I，但这是错误的，因为它意味着 $Σ_{n + 1}$ \Sigma_{n+1}您对模型的满意度是 $Σ_{n}$ \Sigma_n来自参数。 — 
为了使假设更难被驳斥，为什么不问一下，在你的问题中，是否存在超滤器的可定义基础？所以你应该删除第三个项目符号，并用包含替换第四个项目中的等式。 — 
即使按照 Gabe 的建议，也还是会有一个简单的例子。只需将任何超滤器放在 $ω$ \omega，并用它来定义 Ord 上的超滤器，给出测度一到 $ω$ \omega。由于这并不是您真正想要的，因此您应该要求一致性，即每个有界的序数集都有测度零。 —

Accepted Answer

正如 Gabe 在评论中指出的那样，你的要求太强了，因为你的属性意味着可定义性层次结构崩溃，因为你要求每个可定义的序数类都受复杂性的限制 $φ$ \varphi。

如果我们采纳他的建议，要求一个可定义的超滤器基座，而不是整个超滤器，那么正如我在评论中指出的那样，这将是一个简单的例子。只需取任何超滤器 $ω$ \omega（或任何 $κ$ \kappa), 并将其视为 $Ord$ \text{Ord}让它专注于 $ω$ \omega我们可以列出连续体的许多子集 $ω$ \omega在该超滤器上作为超滤器的过滤基座 $Ord$ \text{Ord}，这确实会在 $Ord$ \text{Ord}。

因此，对我来说，想要添加统一要求似乎是很自然的，要求任何有界序数集的补集都在超滤器中。

在这种情况下，让我证明 V=HOD 是不可能的，或者更一般地， $I$ I是一类序数。

定理。对于非主均匀超滤子，没有统一可定义的超滤子基 $Ord$ \text{Ord}，按序数索引。

证明。假设我们有一个可定义的类 $U \subseteq Ord \times Ord$ U\subseteq \text{Ord}\times\text{Ord}其部分 $U_{i}$ U_i生成均匀的非主超滤器 $Ord$ \text{Ord}。

定义一个类 $X \subseteq Ord$ X\subseteq\text{Ord}如下。在阶段 $α$ \alpha，我们将指定 $X$ X直到某个时候，我们看看 $U_{α}$ U_\alpha高于该点。由于均匀 $U_{α}$ U_\alpha必须有点高于该点，我们将其中一个添加到 $X$ X然后承诺从中删除其中一个 $X$ X。然后继续 $α + 1$ \alpha+1等等。这产生了一个可定义的类 $X$ X序数词，既不包含也不省略任何部分 $U_{α}$ U_\alpha。所以那些部分不是超滤器基础。 $◻$ \Box

更新。正如 Farmer Schlutzenberg 在评论中指出的那样，人们可以改进论点，以避免以下假设： $I$ I是一组序数。这完全回答了问题的修改形式。

定理。在 ZF 模型中不存在可定义的类 $U \subseteq I \times Ord$ U\subseteq I\times\text{Ord}其部分 $U_{i}$ U_i形成非主均匀超滤器的过滤基座 $Ord$ \text{Ord}。

证明。我们定义一个类 $X \subseteq Ord$ X\subseteq\text{Ord}分阶段进行。在阶段 $α$ \alpha，考虑所有部分 $U_{i}$ U_i为了 $i \in I \cap V_{α}$ i\in I\cap V_\alpha.我们将指定 $X$ X直到某个序数。由于过滤器基是均匀的，我们知道每个部分在 $Ord$ \text{Ord}。所以我们可以添加一个新的大块 $[η, ζ)$ [\eta,\zeta)序数，其中包含来自每一个 $U_{i}$ U_i为了 $i \in I \cap V_{α}$ i\in I\cap V_\alpha。然后我们可以省略上面的一个块 $[η^{'}, ζ^{'})$ [\eta’,\zeta’)包含来自每一个元素 $U_{i}$ U_i为了 $i \in I \cap V_{α}$ i\in I\cap V_\alpha.然后进入阶段 $α + 1$ \alpha+1.结果是一类序数 $X$ X不包含也不省略任何部分 $U_{i}$ U_i，因此过滤器不会决定 $X$ X，与假设相反。 $◻$ \Box

你可以做些小改动，一般情况下是可行的。在给定的序数阶段 $α$ \alpha，假设我们已经确定 $X ↾ η_{α}$ X\upharpoonright\eta_\alpha在哪里 $η_{α} \in O r d$ \eta_\alpha\in\mathrm{Ord}. 定义 $X ↾ η_{α + 1}$ X\upharpoonright\eta_{\alpha+1}，我们将选择一些 $ξ_{α} > η_{α}$ \xi_\alpha>\eta_\alpha，然后选择 $η_{α + 1} > ξ_{α}$ \eta_{\alpha+1}>\xi_\alpha，并把 $[η_{α}, ξ_{α}) \subseteq X$ [\eta_\alpha,\xi_\alpha)\subseteq X和 $[ξ_{α}, η_{α + 1}) \subseteq O r d ∖ X$ [\xi_\alpha,\eta_{\alpha+1})\subseteq\mathrm{Ord}\setminus X… — 
为了 $i \in I$ i\in I让 $U_{i} = {γ \in O r d | φ (i, γ, \bar{p})}$ U_i=\{\gamma\in\mathrm{Ord}\bigm|\varphi(i,\gamma,\bar{p})\}.现在只需选择 $ξ_{α}$ \xi_\alpha序数最少 $ξ > η_{α}$ \xi>\eta_\alpha 对于每一个 $i \in I \cap V_{α}$ i\in I\cap V_\alpha，有 $β \in [η_{α}, ξ) \cap U_{i}$ \beta\in[\eta_\alpha,\xi)\cap U_i，然后选择 $η_{α + 1}$ \eta_{\alpha+1}至少 $η > ξ_{α}$ \eta>\xi_\alpha对于每一个 $i \in I \cap V_{α}$ i\in I\cap V_\alpha，有 $β \in [ξ_{α}, η) \cap U_{i}$ \beta\in[\xi_\alpha,\eta)\cap U_i（选择无关紧要；ZF 有效。） — 
啊，那太好了。所以这完全排除了 ZF 车型的可能性。 — 
我现在已经更新了我的答案，以包含这种改进的论证形式。 — 
好的，太棒了！[添加一些字符以达到最小评论长度…] —

Answer 2

正如 Gabe Goldberg (在评论中) 指出的那样， $U$ U无法定义，正如 Joel Hamkins 的回答所示， $U$ U甚至无法有一个可定义的基础。

然而，超滤器并没有坚持 $U$ U有一个可定义的过滤基础，我们坚持认为 $U$ U是“ $M$ M-ultrafilter”，然后假设 $M$ M满足 V=HOD，则存在这样一个均匀超滤器。这里我们说 $U$ U是 $M$ M-ultrafilter 如果对于每个参数 $M$ M-可定义的家庭 $⟨ X_{α} : α < {O r d}^{M} ⟩$ \langle X_\alpha:\alpha<\mathrm{Ord}^{M} \rangle的子集 ${O r d}^{M}$ \mathrm{Ord}^{M}，我们有 ${α : X_{α} \in U} \in U$ \{\alpha: X_\alpha \in U\}\in U。

要看到所需的非主要制服的构造 $M$ M-超滤器 $U$ U关于参数可定义子集的布尔代数 ${O r d}^{M}$ \mathrm{Ord}^M（在哪里 $M$ M是V=HOD成立的ZF模型，参见我

顺便说一下， $M$ M-ultrafilter 相当于：对于每个 $n \in ω$ n\in\omega，集合 $U_{n}$ U_n成员 $U$ U即 $Σ_{n}$ \Sigma_n-可定义的是 $M$ M-可定义，即存在参数公式 $ψ_{n} (α, β)$ \psi
_{n}(\alpha ,\beta )使得 $X \in U_{n}$ X\in U_{n}当且仅当

\existsα\in ​ ​ 奥德 ​ ​ 米 十 = {β \in 奥德 ​ ​ 米 ： 中号 ⊨ ψ n （ α ， β ）} 。

\exists \alpha \in \mathrm{Ord}^{M}~~~
X=\{\beta \in \mathrm{Ord}^{M}:M\models \psi _{n}(\alpha
,\beta )\}.

附录。有人可能会想，非校长制服的完整性能有多大 $M$ M-超滤器如上所述。很容易看出 $M$ M-超滤条件保证 $U$ U是 $ℵ_{0}^{M}$ \aleph_{0}^{M}– 完整。然而，正如我上述论文的推论 4.2 所示，人们甚至无法安排 $U$ U满足 $ℵ_{1}^{M}$ \aleph_{1}^{M}-完整性。换句话说， $M$ M模非主均匀 $M$ M-超滤器 $U$ U（如上所述）总是导致基本扩展 $M$ M具有新的“自然数”。

值得注意的是，的主要结果可以用来证明， $U$ U永远不会 ${O r d}^{M}$ \mathrm{Ord}^M找到免费预印本）。

集合论 – 序数上是否存在可定义的“超滤器”？ – MathOverflow

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集合论 – 序数上是否存在可定义的“超滤器”？ – MathOverflow

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