Question

假设下面提到的所有空间都是单连通 CW 复形。设 $f : X \to Y$ f: X \to Y 是 CW 复合体之间的连续映射，其中 $f$ f 不一定是纤维化。假设对于每个 $y \in Y$ y \in Y ，纤维 $f^{- 1} (y)$ f^{-1}(y) 是 $k$ k -连接，即

π 我 （ f - 1 （ 是 ） ） = 0 对于所有 i \leq k 。

\pi_i(f^{-1}(y)) = 0 \quad \text{for all } i \leq k.

考虑纤维化 $p : E \to Y$ p: E \to Y 以及弱等价性 $i : E \to X$ i: E \to X 使得下图可交换（由于模型类别结构，任何这样的 f 都可以被这样的对替换）：

十 ↓ ↓ 是 \to 我 = 埃 ↓ 页 是

\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{i} & E \\
\downarrow{f} & & \downarrow{p} \\
Y & = & Y
\end{array}

这是否意味着纤维 $p^{- 1} (y)$ p^{-1}(y) 对于每个 $y \in Y$ y \in Y 也 $k$ k -连接，即

π 我 （ 页 - 1 （ 是 ） ） = 0 对于所有 i \leq k 和 y \inY ​ ？

\pi_i(p^{-1}(y)) = 0 \quad \text{for all } i \leq k \text{ and } y \in Y?

Answer 1

不，这不是真的。

使固定 $k \geq 1$ k \geq 1并让 $Y$ Y加入 $S^{k} * [0, 1]$ S^k \ast [0,1]，同胚于 $D^{k + 2}$ D^{k+2}。它是一个单连通CW复形，具有平凡同伦群。

让 $X$ X加入 $S^{k} * [0, 1]^{δ}$ S^k \ast [0,1]^\delta，在哪里 $[0, 1]^{δ}$ [0,1]^\delta是具有离散拓扑的区间。那么 $X$ X是无数个的并集 $(k + 1)$ (k+1)-细胞-每个点一个 $[0, 1]$ [0,1]– 沿着他们的共同边界 $S^{k}$ S^k. 因此， $X$ X是一个单连通 CW 复形，具有非平凡 $π_{k + 1}$ \pi_{k+1}。

让 $f : X \to Y$ f: X \to Y是由连续双射引起的连续双射 $[0, 1]^{δ} \to [0, 1]$ [0,1]^\delta \to [0,1]。该映射的纤维都是点，因此 $(k + 1)$ (k+1)-连通。然而，对于任何弱等价纤维化 $E \to Y$ E \to Y，纤维具有非平凡 $π_{k + 1}$ \pi_{k+1}由长正合序列

\dots \to π 千 + 一 （ 是 ） \to π 钾 （ F ） \to π 钾 （ E ） ≅ π 钾 （ 十 ） \to π 钾 （ 是 ） ≅ 0 \to \dots

\dots \to \pi_{k+1}(Y) \to \pi_k(F) \to \pi_k(E) \cong \pi_k(X) \to \pi_k(Y) \cong 0 \to \dots

因此，替换件的纤维不会 $(k + 1)$ (k+1)-已连接。

你好，我假设每个空间（包括两个地图的所有光纤）都是简单连接的！ —

Answer 2

模型类别不会给你提供这样的地图 $i$ i，他们会给你另一个方向的地图。

如果你有这样的地图 $i$ i那么答案是肯定的，因为如果 $j : X \to E^{'}$ j: X \to E’是模型类别给你的纤维化的等价物，那么 $j \circ i$ j \circ i 是纤维同伦等价的，因此 $f \circ i$ f \circ i 是纤维的收缩（达到同伦） $f$ f。自从 $k$ k– 截断的空间在缩回时被关闭，结果如下。

具体来说，泰勒的例子给出了以下存在的反例 $i$ i一般来说。 —

at.algebraic topology – 纤维化置换下的纤维连通性 – MathOverflow

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