Question

我想制定一个凹凸函数（） $f (x)$ f(x)具有以下实数属性：

F （ x ） ： = ⎧ ⎩ ⎨ 0 ， 1 ， 0 ， 如果 x \leq - 1 如果 x = 0 如果 x \geq 1

f(x) :=
\begin{cases}
0, & \mbox{if } x \le -1 \\
1, & \mbox{if } x = 0 \\
0, & \mbox{if } x \ge 1
\end{cases}

此外（因为它是一个凹凸函数），它应该是平滑且连续可微的，并且一阶导数在 $x = - 1$ x = -1和 $x = 1$ x = 1应为零。

但最后一个条件让我无法接受。我希望

\int 1 - 1 F （ x ） d x = 1

\int_{-1}^1 f(x) dx = 1

上面链接的维基百科文章中提供的 bump 函数示例非常接近（我添加了 $1$ 1指数取其值为 $1$ 1在 $x = 0$ x = 0)：

G （ x ） ： = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 0 ， 经验 1 - 1 1 - X 2 ， 0 ， 如果 x \leq - 1 如果 - 1 < x < 1 如果 x \geq 1

g(x) :=
\begin{cases}
0, & \mbox{if } x \le -1 \\
\exp^{1-\frac{1}{1-x^2}}, & \mbox{if } -1 < x < 1 \\
0, & \mbox{if } x \ge 1
\end{cases}

功能 $g$ g满足我的所有要求，除了 $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1$ \int_{-1}^1 f(x) dx = 1。在这里我遇到了瓶颈。我假设，原则上，人们可以乘以 $x$ x由于某种因素 $a > 1$ a > 1以获得所需的精确结果……但这需要有一个反导数的公式 $\int \exp^{1 - \frac{1}{1 - a x^{2}}} d x$ \int \exp^{1-\frac{1}{1-ax^2}} dx，我完全不知道如何找到它。常用的技术似乎不适用。此外，Mathematica 只是耸耸肩 – 这表明我可能会花很长时间尝试而毫无进展。

所以：

是 $g (x)$ g(x)实际上是可积的（在产生不定积分公式的意义上）？如果是，如何实现的？
如果没有，那么是否有一个完全不同的公式可以满足 $f$ f? 我真的不知道如何开始构建这样的东西，因为我对各类函数属性的数学知识根本无法完成这项任务。

根据评论中的建议进行更新

我查看了答案（非常感谢@Lorago，我在这里搜索了“bump function”，但没有找到），但无法让它工作。也许我做错了什么？根据那里的答案，设置

F 0 （ x ） ： = {0 ， 埃 - 1 X 2 ， 如果 x \leq 0 如果 x > 0

f_0(x) :=
\begin{cases}
0, & \mbox{if } x \le 0 \\
e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{if } x > 0
\end{cases}

我可以看到这个函数 $f_{1} (x) := - e^{- \frac{1}{x^{2}}} + 1$ f_1(x) := -e^{-\frac{1}{x^2}} + 1会产生积极的影响 $f_{1} (0) = 1$ f_1(0) = 1；尽管 $f_{1} (x) \to 0$ f_1(x) \rightarrow 0仅作为 $x \to \pm \infty$ x \rightarrow \pm \infty，我不确定它的实用性。分段截断的选择 $x = 0$ x = 0为了 $f_{1} (x)$ f_1 (x)看起来也很奇怪。

不过，我们还是继续吧。答案的下一步是设置

G 0 （ x ） = f （ x - 1 2 ） F （ 1 2 - x)

g_0(x)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}-x\right)

所以，

G 0 （ x ） ： = {0 ， 埃 - 1 （ x - 1 2 ） 2 \cdot 埃 - 1 （ 1 2 - x ） 2 ， 如果 x \leq 0 如果 x > 0

g_0(x) :=
\begin{cases}
0, & \mbox{if } x \le 0 \\
e^{-\frac{1}{(x – \frac {1}{2})^2}} \cdot e^{-\frac{1}{(\frac {1}{2} – x)^2}}, & \mbox{if } x > 0
\end{cases}

链接的答案指出“这是一个以原点为中心的平滑凹凸函数，但 $g_{0} (0) \neq 1$ g_0(0)\neq1”但我不敢苟同；情节如下：

显然，我深深误解了所建议的内容。但为了完整起见，现在设定 $g_{1} (x) = \frac{g_{0} (x)}{g_{0} (0)}$ g_1(x)=\frac{g_0(x)}{g_0(0)}。Mathematica 做了以下简化：

埃 - 1 （ x - 1 2 ） 2 \cdot 埃 - 1 （ 1 2 - x ） 2 埃 - 1 （ - 1 2 ） 2 \cdot 埃 - 1 （ 1 2 ） 2 = 埃 - 1 （ x - 1 2 ） 2 - 1 （ 1 2 - x ) 2 + 8

\frac {e^{-\frac{1}{(x – \frac {1}{2})^2}} \cdot e^{-\frac{1}{(\frac {1}{2} – x)^2}}}{e^{-\frac{1}{(- \frac {1}{2})^2}} \cdot e^{-\frac{1}{(\frac {1}{2})^2}}} = e^{-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(\frac{1}{2} – x\right)^2}+8}

所以我们现在有

G 1 （ x ） ： = ⎧ ⎩ ⎨ 0 ， 埃 - 1 （ x - 1 2 ） 2 - 1 （ 1 2 - x ) 2 + 8 ， 如果 x \leq 0 如果 x > 0

g_1(x) :=
\begin{cases}
0, & \mbox{if } x \le 0 \\
e^{-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(\frac{1}{2} – x\right)^2}+8}, & \mbox{if } x > 0
\end{cases}

这是提出的解决方案。但它看起来像这样…

即使考虑到人们可能已经对 $f_{0}$ f_0产生更类似的东西 $f_{1}$ f_1通过适当的分段截断，很容易看出我做错了什么。

为了完整起见，下面是将相同过程应用于 $f_{1}$ f_1，并对分段规范的截止点进行适当调整。它稍微接近一点，但仍然没有满足大多数要求：

遗憾的是，尽管之前有这样的回答，但我发现自己仍然需要帮助。

这个问题类似于：。如果您认为它有所不同，请编辑问题，说明它有何不同和/或该问题的答案对您的问题无益之处。 — 
嗨@Lorago。我读过你链接的答案（它没有出现在我的搜索中，很奇怪）。恐怕它让我比以往更加困惑。很明显，我肯定没有掌握那里答案的一些非常基本的东西；如果它对其他人有用，那么一定是我错过了什么。所以，我的问题现在已更新以解决这个问题。 — 
如果你不要求函数是无限可微的，那么你可以使用比 $e^{- 1 / x^{2}},$ e^{-1/x^2},例如 $\cos^{2} x .$ \cos^2 x. — 
您的书面版本 $g_{0}$ g_0不正确，而且链接的问题中似乎有拼写错误。我认为该函数应该是 $g_{0} (x) = f (\frac{1}{2} + x) f (\frac{1}{2} - x)$ g_0(x)=f\left(\frac{1}{2}+x\right)f\left(\frac{1}{2}-x\right).如果我们写 $f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}} χ_{(0, \infty)} (x)$ f(x)=e^{-\frac1{x^2}}\chi_{(0,\infty)}(x)，在哪里 $χ_{A}$ \chi_A是指示函数 $A$ A，然后
$G 0 （ x ） = 埃 - 4 （ 2x + 1 ） 2 - 4 （ 2x - 1 ） 2 χ （ - 1 2 ， 1 2 ）（ x ） = {埃 - 4 （ 2x + 1 ） 2 - 4 （ 2x - 1 ） 2 ， 0 ， x \in (- 1 2 ， 1 2 ），否则。$
g_0(x)=e^{-\frac4{\left(2x+1\right)^2}-\frac{4}{\left(2x-1\right)^2}}\chi_{\left(-\frac1{2},\frac{1}{2}\right)}(x)=\begin{cases}e^{-\frac{4}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{4}{\left(2x-1\right)^2}},&x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\\ 0,&\text{otherwise}.\end{cases}
\endgroup

– — 
谢谢。我仍然很困惑，抱歉。首先，让我们接受 $f_{0} (x) := {\begin{cases} 0, & if x \leq 0 \\ e^{- \frac{1}{x^{2}}}, & if x > 0 \end{cases}$ f_0(x) := \begin{cases} 0, & \mbox{if } x \le 0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{if } x > 0 \end{cases} 和 $g_{0} (x) = f (x - \frac{1}{2}) f (\frac{1}{2} - x)$ g_0(x)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}-x\right)。这当然给了我们 $f_{0} (x) := {\begin{cases} 0, & if x \leq 0 \\ e^{- \frac{1}{(\frac{1}{2} + x)^{2}} - \frac{1}{(\frac{1}{2} - x)^{2}}}, & if x > 0 \end{cases}$ f_0(x) := \begin{cases} 0, & \mbox{if } x \le 0 \\ e^{-\frac{1}{(\frac{1}{2}+x)^2}-\frac{1}{(\frac{1}{2}-x)^2}} , & \mbox{if } x > 0 \end{cases} 而不是你的结果？你的公式确实产生了一个凸起。但它大约是 $0.00033$ 0.00033振幅很大，我无法积分；虽然积分肯定是 $<< 1$ <<1… —

Answer 1

如果你只要求一阶导数连续，那么你可以取

F （ x ） = {余弦 2 π X 2 0 ， 当 - 1 \leq x \leq 1 否则

f(x) = \begin{cases}
\cos^2\frac{\pi x}{2}&\text{when $-1\leq x\leq 1$}\\
0,&\text{otherwise}
\end{cases}

它满足 $f (x) = 0$ f(x)=0什么时候 $| x | > 1$ |x|>1， $f (0) = 1,$ f(0)=1, $f \in C^{1} (R),$ f\in C^1(\mathbb R),和 $\int f (x) d x = 1.$ \int f(x)\,dx=1.

你好 @md2perpe，谢谢你，但我非常希望它是连续可微的…… — 
嗯。我想我可能把“连续”和“无限”搞混了……如果是这样的话，你是对的，@md2perpe — 
我非常感谢您的回答，@md2perpe。我必须将另一个标记为正确，因为它很全面。但您的回答也确实很有用，我已点赞。谢谢。 — 
@RichardBurke-Ward。没问题。最佳答案应该获得最高荣誉。我的答案对那些寻找简单碰撞功能的人很有用。 —

Accepted Answer

我有一个比要求更严格的版本。过去我曾遇到过一个非常类似的问题，但一直没弄明白。我感兴趣的是比 OP 要求的更严格。由于这类关于碰撞函数性质的问题相当常见，我在研究我希望解决方案具有的属性列表时，在底部描述了我的一些思考过程。

我有一个平滑的凹凸功能 $f$ f具有以下属性：

$f$ f甚至，
$f \geq 0$ f\ge 0对全部 $x$ x，
$f \equiv 0$ f \equiv 0在外面 $(- 1, 1)$ (-1,1)，
$0 < f \leq 1$ 0 < f \le 1在 $(- 1, 1)$ (-1,1)，
$f (0) = 1$ f(0) = 1，
$f$ f正在减少 $0$ 0，和
$\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1$ \displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\,dx = 1。

困难的部分，正如 OP 正确指出的那样，是 $f (0) = 1$ f(0) = 1与整体存在一起工作 $1$ 1。你可以缩小函数的支持度来获得积分所需的值，但你可能会失去 $f (0) = 1$ f(0) = 1在这个过程中。或者如果你缩小支持并保持 $f (0) = 1$ f(0) = 1，你可能会失去积分的期望值。你可以添加较小的凹凸函数，以远离 $0$ 0缩小函数的支持度后，如果你小心的话，这种方法是可行的，但是你的解决方案可能不会单调衰减 $0$ 0。

让 $f_{0} (x) = e^{1 - \frac{1}{1 - x^{2}}} χ_{(- 1, 1)} (x)$ \displaystyle f_0(x) = e^{1-\frac{1}{1-x^2}}\chi_{(-1,1)}(x)是标准凹凸函数。设 $J = \int_{- 1}^{1} f_{0} (x) d x$ \displaystyle J = \int_{-1}^1 f_0(x)\,dx。通过， $J = e^{\frac{1}{2}} (K_{1} (\frac{1}{2}) - K_{0} (\frac{1}{2})) \approx 1.2069$ \displaystyle J = e^{\frac{1}{2}}\bigg(K_1\bigg(\frac{1}{2}\bigg) – K_0\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\bigg)\approx 1.2069，在哪里 $K_{ν}$ K_{\nu}是。定义候选凸块函数 $f$ f经过

F （ x ） = 1 1 + α （ F 0 （ 2x ） + α ​ F 0 （ X ） ） ，

f(x) = \frac{1}{1+\alpha}(f_0(2x) + \alpha f_0(x)),

在哪里 $α = \frac{\frac{1}{J} - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{J}}$ \displaystyle \alpha = \frac{\frac{1}{J}-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{J}}。

很容易看出 $f$ f是非负的并且相同 $0$ 0在外面 $(- 1, 1)$ (-1,1)。因为它是 $f_{0}$ f_0和 $0 \leq f_{0} \leq 1$ 0 \le f_0 \le 1，我们还有 $0 \leq f \leq 1$ 0 \le f \le 1。同样地， $f (0) = 1$ f(0) = 1和 $f$ f正在减少 $0$ 0自从 $f_{0}$ f_0是。棘手的部分是评估 $f_{0}$ f_0（可以在链接的 MSE 帖子中找到），但之后只需进行简单的操作即可显示 $f$ f有积分 $1$ 1。

以下是我做出这个决定的思考过程。至于我为什么选择 $f$ f我这样做的方式：我想从 $f_{0}$ f_0因为它是最常见的碰撞函数示例，并且 OP 已经明确指出了它。我缩小了它的支持（ $f_{0} (2 x)$ f_0(2x)）到 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ \big(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)因为它的积分大于 $1$ 1。我首先添加了一些基于平移和重新缩放的凹凸函数 $f_{0}$ f_0相对于原点对称，峰值接近 $\pm \frac{1}{2}$ \pm \frac{1}{2}，但很快就变得难以管理单调递减部分，而不必陷入困境。问题是，我想要添加的较小的凹凸函数有一个峰值，然后在支撑的边缘附近衰减 $f_{0} (2 x)$ f_0(2x)所以我意识到我真正想要的是一个平坦但不为零的函数，通过 $f_{0} (2 x)$ f_0(2x)，从而使用重新缩放的版本 $f_{0} (x)$ f_0(x)剩下的只是做一个特定的凸组合来使积分和 $f (0) = 1$ f(0) = 1各条件共同作用。

以下是演示该功能的图表：

Answer 3

考虑以下函数：

F （ x ） = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ， x \leq - 1 ； 0 ， x\geq1 ； ​ ​ 1 ， x = 1 ； 1 1 + 经验值 （ 1 - 2 | x | X 2 - | x | ） ， 否则;

f(x) = \begin{cases} 0,\quad x\leq -1;\\
0,\quad x\geq 1;\\
1,\quad x=1;\\
\dfrac{1}{1+\exp\left(\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}\right)},\quad\text{otherwise;}
\end{cases}

这是非族中的一个，它在每个点都是连续的，其导数也是连续的，满足 $f (- 1) = f (1) = 0$ f(-1)=f(1)=0， $f (0) = 1$ f(0)=1，和 $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1$ \int_{-1}^1 f(x)\ dx = 1至少在中也是如此 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$ \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx = 1并且顶部是一个 $R (x)$ R(x)第一叶的位移版本，是无处解析的无限可微函数的示例：您可以在中检查它是否满足您的积分要求，但它没有闭式：在此中显示了数值近似，并且它解决了 $R^{'} (x) = 2 R (2 x + 1) - 2 R (2 x - 1)$ R'(x) = 2R(2x+1)-2R(2x-1)。

您可以查看 $f (x)$ f(x)在中。

Answer 4

当你将函数提升到某个幂次时 $p > 0$ p > 0，你可以“抬起”图形并以此方式改变积分，同时仍然 $g (0) = 1$ g(0) = 1，即考虑

G （ X ） 页 = {经验 （ p \cdot （ 1 - 1 1 - X 2 ） ） ， 0 ， 如果 | x | < 1 别的

g(x)^p =
\begin{cases}
\exp(p \cdot (1-\frac{1}{1-x^2})) , & \text{if } |x| < 1 \\
0 , & \text{else}
\end{cases}

和 $p$ p选择 $\int_{- 1}^{1} g (x)^{p} d x = 1$ \int_{-1}^1 g(x)^p \,dx = 1。不幸的是，我认为没有一个封闭的公式可以找到 $p$ p这就成功了。求解 $p$ p数字上给我 $p \approx 1.8995669372616584$ p \approx 1.8995669372616584。

Answer 5

只需将四条三次曲线拼接在一起即可完成此操作。从曲线的片段开始 $f (x) = 1 - 4 x^{3}$ f(x)=1-4x^3在间隔上 $[0, \frac{1}{2}]$ [0,\frac12]：

绕点旋转此曲线 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ (\frac12,\frac12)，通过添加曲线段 $y = 4 (1 - x)^{3}$ y=4(1-x)^3在间隔上 $(\frac{1}{2}, 1]$ (\frac12,1]：

并反思 $y$ y-轴：

这具有连续的二阶（但不是三阶）导数，并且根据对称性，曲线下的面积为 $1$ 1。

感谢 Desmos 提供的图片。

Answer 6

也考虑一下这个。

我希望代码足够清晰以适应其他平台。

integration – 凹凸函数公式

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